"Es el principio mismo de contar, es que pone en marcha la infinitud de números naturales que usamos todo el tiempo. Se podría decir que es el más importante de todos".
Palabras del físico Robert Matthews exaltando las virtudes del número 1. Sin embargo, en mi opinión, el 1 no es tan genial.
De hecho, me parece soso. Y el matemático Marcus de Sautoy concuerda.
"Los griegos ni siquiera lo consideraban como un número, porque un número sólo es importante cuando quieres distinguir una cantidad de otra. Cuando hablas del 1, no parece que algo está empezando, mientras que al nombrar el 2 realmente empiezas a contar".
No obstante, otros matemáticos insisten en pregonar las maravillas de la unidad, entre ellos Julie Roskies.
Pues sí, pero eso es como invitar a alguien a una fiesta y ni siquiera darse cuenta de que vino.
"Pero es muy necesario para que todo tipo de cosas en matemáticas funcionen bien", replica Roskies.
Marcas en la historia
"El número 1 es muy importante y tan omnipresente que ya no lo notamos", afirma Eleanor Robson, historiadora de matemáticas, quien también opina que el 1 es único, y señala que su origen se remonta unos 10.000 años atrás.
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"En todo Medio Oriente, la gente llevaba un registro de lo que producían o tenían y lo que comerciaban de uno a uno".
"Para hacerlo, tenían unas fichas pequeñísimas de arcilla, que metían en un contenedor, también de arcilla. Pero, claro, para saber qué tenían adentro, tenían que romper el contenedor, así que empezaron a imprimir marcas con las fichas encima de él antes de meterlas".
"Muy pronto se dieron cuenta de que el contenedor era superfluo, pues ya tenían un registro permanente en la arcilla".
"A través del proceso de contabilidad con pequeños objetos tridimensionales,empezamos a ver los primeros números a mediados del IV milenio a.C. en lo que hoy es Irak, Irán, Siria, etc.".
"Así que el número 1 es el primer signo escrito del mundo".
A pesar de sus antiguos orígenes y su envergadura, aún no estaba convencido de que fuera tan valioso, hasta que me enteré de que existe algo llamado "la ley de Benford", también conocida como "la ley del primer dígito", que me hizo ver al número 1 con otros ojos.
Según esa ley, el 1 es el número más popular del universo.
Pero, ¿qué quiere decir 'popular' en este contexto?
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Es un hecho que el 1 es el número más popular de todos los números como primer dígito.
Si no lo crees, apelo al matemático y DJ australiano Adam Spencer, quien analizó toneladas de datos para comprobar la validez de la ley de Benford, para ver si logra convencerte.
"En una lista de todos los países del mundo, unos 200, y sus áreas en kilómetros cuadrados, revisa todos los números. Al contar las cifras que empiezan con 1 -ya sea190 millones de km2 o 1.250 km2-, encontrarás unas 60, alrededor del 30%. Mientras que en el caso del número 9, sólo encontrarás unos 10 casos".
De hecho, toma cualquier conjunto de datos y encontrarás que alrededor del 30% de las cifras empiezan con 1.
Para mí esto es francamente extraño, pues uno esperaría que todos los números fueran igualmente comunes.
Las páginas desgastadas
Esta propiedad fue advertida en 1881 por el astrónomo y matemático Simon Newcomb, quien notó que las primeras páginas de las tablas de logaritmos que se usaban en esa época siempre se veían mucho más desgastadas que las últimas, y descubrió por qué.
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Así se quedó por unos 50 años hasta que un físico estadounidense llamado Frank Benford notó lo mismo y fue más lejos.
Recogió 20.000 números distintos de unas 20 fuentes distintas, que mezclaban toda una variedad de datos -desde la longitud de los ríos o las propiedades de los químicos hasta los promedios de bateo en béisbol- y confirmó lo que Newcomb había escrito.
Lo asombroso es que la ley no sólo aplica a toda clase de conjuntos de datos sino también en diferentes unidades.
Es decir, si mides la altura de las montañas en metros 30% de las cifras empiezan con 1, ¿qué pasa si las mides en pies o yardas o pulgadas?
Adivinaste: la ley se mantiene.
Y es más...
"Supongamos que tenemos una lista de cifras y que, como dice la ley de Benford, 30% empiezan con el dígito 1", propone Spencer.
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"Ahora, doblemos esas cifras. ¿Cuál es el número más popular en la nueva lista? Uno pensaría que el 2, pues todas las que empezaban con 1 se convertirían en 2 (1 + 1 = 2 también es un hecho). Pues no: ¡30% de los números en esa lista nueva también empiezan con 1!".
"Es un poco difícil explicar la razón pero pensémoslo de esta manera: si doblas las cifras que empezaban con 1 -como el 110- el resultado empezará con 2 -220- o uno de los otros dígitos, 160 + 160 = 320".
"Pero muchos de las cifras que empezaban con otros números, al doblarlas resultan con el 1 como primer dígito: 50 x 2 = 100; 60 x 2 =120; 73 x 2 = 146... la ley de Benford se mantiene. Es algo que se denomina 'invariancia de escala'", explica el matemático.
¿Por qué es tan robusta?
Para responder a esta pregunta, quién mejor que el experto más destacado en la ley de Benford: Mark Nigrini.
Como ilustración, nos pide que nos imaginemos que tenemos un capital que crece 10% al año.
| Cuánto tarda en cambiar el primer dígito | ||
|---|---|---|
| Capital $ | Tiempo que toma para cambiar con 10% aumento al año | Cifra cuando cambia |
| 100 | 7,3 años | 200 |
| 500 | 1,9 años | 600 |
| 900 | 1,1 años | 1.000 |
Además piensa que las cifras que empiezan con 1 (de 100 a 200 por ejemplo) requieren de un aumento del 100% para cambiar de primer dígito; cuando llega al número 9, sólo necesita un aumento de 11%.
El 1 sencillamente permanece más tiempo como primer dígito, por lo que el 1 es el líder en el 30% de los casos mientras que el 9 en el 4%.
Extraño, intrigante y real pero ¿para qué sirve?
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"Si es cierto que hay patrones predecibles de los dígitos en las listas de números, entonces quizás le puede ayudar a los auditores a determinar si un conjunto de datos es auténtico o inventado", le dice Nigrini a la BBC, al contar lo que pensó cuando se le ocurrió cómo aplicar este conocimiento.
Como se trata de una ley de matemáticas poco conocida, la gente que trata de falsificar declaraciones de impuestos, por ejemplo, no la siguen y arriesgan caer en la trampa.
La agencia encargada de recaudar impuestos en Estados Unidos (IRS) es una de las que usa la ley de Benford para detectar fraude.
"Tuvimos un caso recientemente en Nueva York en el que lo que la persona hizo fue cambiar las cifras que empezaban con 1 poniéndoles un 7 o un 9. De manera que sus cuentas de gastos tenían muy pocas cifras cuyo primer dígito era 1, por eso fue atrapado", cuenta Nigrini, quien puntualiza: "No siempre se trata de fraude, a veces son errores y la ley sirve para revelarlos".
Uno de los usos más interesantes, tiene que ver con el medioambiente, pues las fábricas tienen que reportar los niveles de contaminación y les conviene que sean bajos, pero al mundo le urge que sean ciertos.
La ley de Benford empezó siendo una peculiaridad matemática, luego fue objeto de investigación y ahora se ha convertido en una herramienta para descubrir estafadores... de toda clase.
Así que la próxima vez que un niño te pregunte malhumorado "¿de qué sirve que estudie matemáticas?", le puedes contestar que un día, cuando sea grande, entender esa asignatura y la ley de Benford le ayudará a mentir en su declaración de impuestos, sin que nadie se dé cuenta.
O mejor no.
BBC
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